微积分笔记，仅作为个人学习记录，不保证正确性。

1. 渐近线

垂直渐近线（Vertical asymptote）和水平渐近线（Horizontal asymptote）是两种常见的渐近线类型。

1.1 垂直渐近线

垂直渐近线是函数图像在某个特定的xx值附近无限接近但永远不会达到的垂直线，这通常发生在函数的分母为零、分子不为零的情况下。

例如函数 f(x)=1xf (x) = \frac{1}{x} 中，x=0x=0 是一个垂直渐近线，因为当 xx 无限接近0时，f(x)f (x) 无限接近 ∞\infty （或 −∞-\infty，取决于 xx 的正负、是从左边还是右边无限接近）。

1.2 水平渐近线

要找到水平渐近线，我们需要考虑函数在 xx 值无限大或无限小时的行为。对于有理函数，你可以通过比较分子和分母的最高此项的次数来确定是否存在水平渐近线，以及它的位置在哪里：

  • 如果分子的最高次项的次数大于分母的最高次项的次数，那么函数没有水平渐近线；例如 f(x)=x2+1xf (x) = \frac{x^2+1}{x}
  • 如果分子的最高次项的次数等于分母的最高次项的次数，那么函数有一个水平渐近线，它的值等于分子的最高次项的系数除以分母的最高次项的系数；例如 f(x)=x2+1x2f (x) = \frac{x^2+1}{x^2}，水平渐近线的值是1
  • 如果分子的最高次项的次数小于分母的最高次项的次数，那么函数有一个水平渐近线，它的值等于0；例如 f(x)=x2+1x3f (x) = \frac{x^2+1}{x^3}

2. 导数

导数是函数在某一点的瞬时变化率，它的定义是函数在这一点的切线的斜率。导数的计算方法有很多，其中最常见的是使用极限的定义：

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}

这个定义的意思是，当 hh 无限接近0时，函数在 xx 点的瞬时变化率等于 f(x+h)f(x+h) 和 f(x)f(x) 之间的变化量除以 hh。

2.1 导数的性质

导数（Derivative）有很多有用的性质，其中最重要的是：

  • 导数可以用来判断函数的增减性：
    • 如果 f′(x)>0f'(x)>0，那么 f(x)f(x) 在 xx 点是增加的
    • 如果 f′(x)<0f'(x)<0，那么 f(x)f(x) 在 xx 点是减少的
    • 如果 f′(x)=0f'(x)=0，那么 f(x)f(x) 在 xx 点是不变的

一个圆的半径以每秒3英寸的速度增加。当半径为5英寸时，它的面积增长速度是多少（单位为平方英寸/秒）？

我们知道一个量（圆的半径）的变化速度，想要求另一个量（圆的面积）的变化速度。这是一个典型的导数问题，因为导数描述了一个量的变化速度。我们可以使用导数的定义来解决这个问题：

圆的面积 AA 和半径 rr 之间的关系是 A=πr2A = \pi r^2。我们知道半径 rr 随着时间 tt 的变化速度（即半径的导数）是 33 英寸/秒，所以我们可以写出 r(t)=5+3tr(t) = 5 + 3t。我们想要求 AA 随着时间的变化速度，也就是 dAdt\frac{dA}{dt}。我们可以使用链式法则来解决这个问题：

dAdt=dAdr⋅drdt\frac{dA}{dt} = \frac{dA}{dr} \cdot \frac{dr}{dt}

A=πr2A = \pi r^2，所以 dAdr=2πr\frac{dA}{dr} = 2\pi r。

r=5+3tr = 5 + 3t，所以 drdt=3\frac{dr}{dt} = 3。

把这两个值代入上面的公式，我们得到：

dAdt=2πr⋅3=6πr=6π(5+3t)\frac{dA}{dt} = 2\pi r \cdot 3 = 6\pi r = 6\pi (5 + 3t)

当 r=5r = 5 时，t=0t = 0，所以 dAdt=6π⋅5=30π\frac{dA}{dt} = 6\pi \cdot 5 = 30\pi 平方英寸/秒。

点P沿x轴以每秒2个单位的速度向右移动。当P位于(4,0)时，P和(0,3)之间的距离增加的速度是多少？

点P的坐标随时间变化，即 (x(t),0)(x(t), 0)，其中 x(t)x(t) 是时间 tt 的函数，并且 dxdt=2\frac{dx}{dt} = 2 （单位/秒）。

我们需要找到点P和点(0,3)之间的距离 DD 随时间 tt 的变化率，也就是 dDdt\frac{dD}{dt}。我们可以使用勾股定理来解决这个问题：

D2=(x−0)2+(0−3)2=x2+9D^2 = (x-0)^2 + (0-3)^2 = x^2 + 9

由于求的点P在(4,0)，所以 x=4x = 4，得出 D=5D = 5。

我们可以对上面的公式求导数，得到：

ddtD2=ddt(x2+9)\frac{d}{dt} D^2 = \frac{d}{dt} (x^2 + 9)

2D⋅dDdt=2x⋅dxdt2D \cdot \frac{dD}{dt} = 2x \cdot \frac{dx}{dt}

dDdt=2x⋅dxdt2D=xD⋅dxdt\frac{dD}{dt} = \frac{2x \cdot \frac{dx}{dt}}{2D} = \frac{x}{D} \cdot \frac{dx}{dt}

导入已知的值，我们得到：

dDdt=45⋅2=85\frac{dD}{dt} = \frac{4}{5} \cdot 2 = \frac{8}{5}

2.1.1. 区间

一个函数在某个区间是增加的还是减少的，可以查看该区间的导数是正还是负。

如果函数 g(t)g(t) 的一阶导数在某个区间内大于 0，那么函数在该区间内是增加的；如果导数小于 0，那么函数在该区间内是减少的。

在一个闭区间内，函数的绝对最小值是该函数在该区间上取得的最小的函数值；绝对最大值同理。

2.1.2. 临界点

一个函数的临界点（Critical point）是指函数的导数等于 0 或不存在的点。临界点是函数的极值点的候选者，因为函数在极值点处的导数是 0。

2.1.3. 微分运算符

微分运算符 ddx\frac{d}{dx} 是一个用来表示对 xx 的导数的运算符，它的作用是把一个函数变成它的导数。例如：

ddxx2=2x\frac{d}{dx} x^2 = 2x

这意味着 x2x^2 的导数是 2x2x，或者说，x2x^2 在任何点的瞬时变化率都是 2x2x。

微分运算符公式：

ddxxn=nxn−1\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}

2.2. 切线

一个函数在某一点的导数描述了该函数在该点处的斜率，也就是说，它描述了函数在该点处的切线（Tangent line）。

具体来说，如果我们有一个函数 f(x)f (x)，并且我们知道它在 x=ax=a 处的导数是 f′(a)f'(a)，那么我们可以使用点斜式来写出它在 x=ax=a 处的切线方程：

y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1)

其中 mm 是斜率，也就是导数 f′(a)f'(a)；x1x_1 和 y1y_1 是切线上的一个点，也就是 (a,f(a))(a, f(a))。

2.3. 导数规则

导数有很多规则，其中最常见的是：

  • 积规则：ddx(uv)=u′v+uv′\frac{d}{dx} (uv) = u'v + uv'
  • 商规则：ddxuv=u′v−uv′v2\frac{d}{dx} \frac{u}{v} = \frac{u'v - uv'}{v^2}
  • 链式法则：ddxf(g(x))=f′(g(x))g′(x)\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)
    • 也可以是：dydt=dydx⋅dxdt\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}

2.4. 高阶导数

高阶导数（Higher-order derivative）是指一个函数的导数的导数。例如，如果 f′(x)f'(x) 是 f(x)f(x) 的导数，那么 f′′(x)f''(x) 是 f′(x)f'(x) 的导数，也就是 f(x)f(x) 的二阶导数。

在物理学中，高阶导数通常用来描述加速度、速度和位移之间的关系。例如，如果 f(t)f(t) 是一个物体的位移函数，那么 f′(t)f'(t) 是速度函数，f′′(t)f''(t) 是加速度函数。

2.5. 实践

Suppose f′(2) = 0 and f′′(2) > 0. Which of the following statements is true?

a) f(2) must be a relative maximum of f

b) f(2) must be a relative minimum of f

c) f(2) must be a relative extremum of f, which could be a max or min

d) (2, f(2)) must be a point of inflection of f

e) Not enough information to know whether (2, f(2)) is a point of inflection

首先 x=2x = 2处函数的切线斜率（导数）为0，这意味着 22 可能是函数的局部极大值或者局部极小值，或者可能是拐点。这是因为导数为零代表着函数在该点的切线是水平的，这通常发生在两种情况下：函数的山顶或谷底，或者函数的形状从上升到下降或者从下降到上升的地方。

再看第二个条件，f′′(2)>0f''(2) > 0。基于第一个条件，我们知道 x=2x = 2 处的切线是水平的，所以 f′′(2)f''(2) 的正负号告诉我们 x=2x = 2 处的函数是凹还是凸。因为 f′′(2)>0f''(2) > 0，所以 x=2x = 2 处的函数是凹的，这意味着 x=2x = 2 处的函数是一个局部极小值。

On which interval is g(x)=1x+ln⁡xg(x) = \frac{1}{x} + \ln x increasing?

这个问题在询问函数 g(x)g(x) 在哪个区间是呈现凹增的。函数的二阶导数告诉我们函数的凹凸性，如果函数的二阶导数大于0，那么函数是凹的；如果函数的二阶导数小于0，那么函数是凸的。

1x\frac{1}{x} 的导数是 −1x2-\frac{1}{x^2}，ln⁡x\ln x 的导数是 1x\frac{1}{x}，所以 g′(x)=−1x2+1xg'(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}。g′′(x)=2x3−1x2g''(x) = \frac{2}{x^3} - \frac{1}{x^2}，所以 g(x)g(x) 是凹的。

我们还要找出在哪个区间 g′′(x)>0g''(x) > 0，将 g′′(x)g''(x) 替换成 00，算出 x=2x=2。

接下来我们要找出区间 (0,2)(0,2) 和 (2,+∞)(2,+\infty) 中具体哪里才是 g′′(x)>0g''(x) > 0。

2.6. 应用

生产 xx 个单位的产品的成本是 C(x)=x2+30x+72xC(x) = \frac{x^2+30x+72}{\sqrt{x}}，其中 x≥0x \geq 0。求边际成本为 0 时的生产量。

在经济学中，边际成本（Marginal cost）是生产一个额外单位产品所需的额外成本。在微积分中，边际成本可以通过求生产成本函数的导数来得到。

C′(x)=1.5x−1/2(x−2)(x+12)C'(x) = 1.5x^{-1/2} (x-2) (x+12)

因为 xx 不能为负数，所以 x=2x=2 是边际成本为 0 时的生产量。